EKSPONEN

TINJAUAN ULANG SIFAT-SIFAT EKSPONEN

Kita masih ingat bahwa eksponen rasional a^m/n ( a є R & a > 0, m bilangan bulat, & n bilangan asli lebih dari 1 ) didefinisikan sebagai berikut :

a^m/n= ( ⁿ√ a )^m = ⁿ√a^m

Sifat- sifat eksponen bilangan real :

Jika a & b bilangan real positif, beserta x & y bilangan real, maka berlaku hubungan :

a^xx a^y = a^x+y
( a x b )^x = a^x x b^x
a^x : a^y = a^x-y
( a : b )^x = a^x : b^x
( a^x )^y = a^{x × y}
(i) a^-x = 1/ a^x

(ii) a^x = 1/ a^-x

FUNGSI EKSPONEN

Definisi :

Fungsi eksponen dgn bilangan pokok atau basis “a” adalah fungsi yg mempunyai bentuk umum :

f : x a^x atau y = f(x) = a^x, a > 0 & a ≠ 1

disebut fungsi eksponen dgn daerah asal bilangan real.

C. PERSAMAAN EKSPONEN

Definisi :

Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yg eksponennya mengandung peubah x & tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat
1. a^m x aⁿ = a^m+n
2. (a^m)ⁿ = (a)^mn
3. a^m/aⁿ = a^m-n
4. (a x b )ⁿ = aⁿ x bⁿ
5. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional

Jika a,b,c є bilangan real & m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka :

a. a^m/n . a^p/q = a^m/n ^{+ p/q}

b. (a^m/n)^p/q = a^mp/nq

c. a^m/n: a^p/q = a^{m/n – p/q}

d. (ab)^m/n = a^m/n . b^m/n

e. (a/b)^m/n = a^m/n/b^m/n

3. Persamaan Eksponen

Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2x. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 !

Kita dapat menyelesaikannya dgn membentuk sebuah persamaan f(x) = 2x :

8 = 2^x atau 2^x = 8 atau 2^x = 2³

Persamaan yg memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen.

Persamaan eksponen dapat berbentuk :

a. a^f(x) = 1

b. a^f(x) = a^p

c. a^f(x) = a^g(x)

d. a^f(x) = b^f(x)

e. a^f(x) = b^g(x)

f. [f(x)]^f(x) = [f(x)]^g(x)

a & b dinamakan bilangan pokok, a,b > 0 & a,b ≠ 1.

f(x) & g(x) adalah sebuah fungsi aljabar.

Persamaan eksponen dapat diselesaikan dgn menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen. Sebelum mempelajari sifat-sifat tersebut sebaiknya kita tinjau kembali bilangan pangkat nol (a⁰).

Pengertian pangkat nol

Buat setiap a є bilangan real, maka :

a⁰ = 1

Keterangan : buat 0⁰ tidak didefinisikan.

4. Sifat – sifat Fungsi Eksponen buat Menyelesaikan Persamaan Eksponen

Sifat fungsi atau eksponen berbentuk a^f(x) = 1

Jika a^f(x)= dgn a > 0 & a ≠ 1, maka f(x) = 0

Sifat fungsi atau eksponen berbentuk a^f(x)= a^p

Jika a^f(x)= a^p dgn a > 0 & a ≠ 1, maka f(x) = p

Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk a^f(x)= a^g(x)

Jika a^f(x)= a^g(x)dgn a > 0 & a ≠1 , makaa f(x) = g(x)

d. Sifat fungsi atau persamaan berbentuk a^f(x)= b^f(x) (a≠b)

Jika a^f(x) = b^f(x)dgn a,b > 0 a,b ≠ 1 beserta a ≠ b, maka f(x) = 0

e. Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk a^f(x)= b^g(x)

Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk a^f(x)= b^g(x)dgn a,b>0 & a,b≠1 dapat diselesaikan dgn logaritma, yaiu log :

a^f(x)= log b^g(x)atau f(x) log a = g(x) log b

f. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [U(x)]^f(x) = [U(x)]^g(x)

Jika [U(x)]^f(x) = [U(x)^g(x)] maka nlai x diperoleh dari :

f(x) = g(x)
U(x) = 1
U(x) = 0, jika nilai x memenuhi syarat f(x) ≥ 0 & g(x) > 0
U(x) = -1, jika nilai x memenuhi syarat f(x) & g(x) kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap.

g. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk A{a^f(x)}² + B{a^f(x)} + C = 0

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{a^f(x)}² + B{a^f(x)} + C = 0 (a>0 & a≠1, A,B, & C bilangan real & A≠0) dapat ditentukan dgn cara mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat.

D. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Definisi :

Pertidaksamaan Eksponen adalah pertidaksamaan yg eksponennya mengandung peubah x, & tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik & sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat Fungsi Monoton Naik (a>1)